단단하지만 유연하게
너그럽지만 중심이 선 사람넉넉하지만 흔들리지 않는 사람마음은 크지만 휘둘리지 않는 사람
- Serendipitous Thoughts (문득 떠오른 생각)
- · 2025. 9. 16.
괴델의 불완전성 정리
1931년에 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)이 발표한 두 가지 중요한 정리를 말한다. 이 정리들은 수학의 형식 체계와 논리의 한계에 대해 심오한 통찰을 제공한다.* 일관성(Consistency): 그 체계 안에서 모순(예: 어떤 명제 φ와 그 부정 ¬φ를 동시에 증명하는 것)이 일어나지 않는다는 성질.첫 번째 불완전성 정리내용:충분히 강력한 형식 체계(T), 즉 자연수의 기본 성질을 기술할 수 있는 체계(예: 페아노 산술)를 가정할 때, 그 체계가 일관적이라면 체계 내에서 증명할 수 없는 참인 명제가 반드시 존재한다.의미:이는 수학의 모든 참인 명제를 하나의 공리 체계로 증명할 수 있다는 ‘완전성’을 기대했던 초기 시도에 반하는 결과로, 어떤 체계라도 모든 진리를 포착하지 못한다는 것을 의미한다.증명:..
- Mathematical Serendipity (확률론)
- · 2025. 9. 13.
러셀의 역설
러셀의 역설은 집합론에서 나타난 모순을 보여주는 대표적인 예이다. 러셀은 "나이브 집합론"의 기본 가정, 즉, 임의의 성질을 만족하는 모든 원소들의 모임은 하나의 집합이 된다는 가정,에서 문제가 발생함을 질문했다.집합의 정의:모든 집합이 어떤 성질을 만족하는 원소들의 모임으로 정의될 수 있다고 가정하자.자기참조 집합의 구성:"자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합들의 집합"을 RRR라고 정의하자.모순의 도출:만약 RRR이 자기 자신을 원소로 포함한다면, RRR은 자기 자신을 포함하지 않는 집합이어야 하므로 모순.반대로, RRR이 자기 자신을 원소로 포함하지 않는다면, 정의에 의해 자기 자신을 포함해야 하므로 역시 모순.이와 같이 RRR이 자기 자신을 포함하는지 여부를 결정할 수 없기 때문에, 근본적인 모..
- Mathematical Serendipity (확률론)
- · 2025. 9. 13.
When the sky and the sea melting into each other
- Random Pleasures
- · 2025. 7. 2.