SERENDIPITY

단단하지만 유연하게

아로미여니 — Tue, 16 Sep 2025 00:11:58 +0900

너그럽지만 중심이 선 사람

넉넉하지만 흔들리지 않는 사람

마음은 크지만 휘둘리지 않는 사람

괴델의 불완전성 정리

아로미여니 — Sat, 13 Sep 2025 06:47:33 +0900

1931년에 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)이 발표한 두 가지 중요한 정리를 말한다. 이 정리들은 수학의 형식 체계와 논리의 한계에 대해 심오한 통찰을 제공한다.

* 일관성(Consistency): 그 체계 안에서 모순(예: 어떤 명제 φ와 그 부정 ¬φ를 동시에 증명하는 것)이 일어나지 않는다는 성질.

첫 번째 불완전성 정리

내용:
충분히 강력한 형식 체계(T), 즉 자연수의 기본 성질을 기술할 수 있는 체계(예: 페아노 산술)를 가정할 때, 그 체계가 일관적이라면 체계 내에서 증명할 수 없는 참인 명제가 반드시 존재한다.
의미:
이는 수학의 모든 참인 명제를 하나의 공리 체계로 증명할 수 있다는 ‘완전성’을 기대했던 초기 시도에 반하는 결과로, 어떤 체계라도 모든 진리를 포착하지 못한다는 것을 의미한다.

증명:
Gödel은 모든 기호, 공식, 증명 등을 고유한 자연수로 부호화해서, 체계 T 안에서 “나는 증명 불가능하다”라는 문장을 만들 수 있다는 걸 보임.

두 번째 불완전성 정리

내용:
위에서 언급한 충분히 강력한 일관적인 형식 체계는 자기 자신의 일관성을 체계 내에서 증명할 수 없다. 즉, T⊬Con(T).
의미:
이는 체계의 신뢰성을 내부에서 완전히 보장할 수 없음을 나타내며, 외부의 메타수리논리적 분석이 필요함을 시사한다.

증명:
1. Con(T)라는 명제를 내부에서 산술적으로 부호화할 수 있다. 2. 만약 가 Con(T)를 증명한다면, T는 “나는 증명 불가능하다”라는 Gödel 문장도 증명할 수 있게 되는데, 이건 모순. 3. 따라서 T가 일관적이라면, 자기 일관성을 스스로 증명하는 건 불가능.

불완전성 정리의 영향

수학의 기초:
초기의 힐베르트 프로그램처럼, 수학 전체를 하나의 완전하고 일관된 체계로 구성할 수 있다는 목표에 큰 타격을 줌.
논리와 철학:
형식 체계의 한계를 명확히 드러내어, 수학과 철학, 컴퓨터 과학 등 여러 분야에서 형식화와 증명, 계산 가능성에 대한 근본적인 질문을 불러일으킴.

결론적으로, 괴델의 불완전성 정리는 어떠한 충분히 강력한 수학적 체계라도 그 체계 내에서 모든 참인 명제를 증명할 수 없으며, 체계 자체의 일관성도 내부적으로는 보장할 수 없음을 보여준다. 이는 수학의 근본적인 한계를 드러내는 중요한 결과이다.

마치 “나는 거짓말쟁이다”라는 문장이 자기 자신을 언급하듯, 체계 내부에서 자기 일관성을 보장하려 하면 자기 지시(self-reference) 문제가 발생하는 것.
자기 신뢰는 자기 내부에서 증명될 수 없다는 철학적 결론이라고도 볼 수 있다.
대신, 일관성을 보이려면 더 강한 체계로 올라가야 합니다. 예를 들어:
- PA(페아노 산술)의 일관성은 ZFC 같은 더 강한 체계에서 증명할 수 있음.
- 하지만 ZFC의 일관성은 더 강한 체계에서만 증명 가능.

러셀의 역설

아로미여니 — Sat, 13 Sep 2025 06:35:24 +0900

러셀의 역설은 집합론에서 나타난 모순을 보여주는 대표적인 예이다. 러셀은 "나이브 집합론"의 기본 가정, 즉, 임의의 성질을 만족하는 모든 원소들의 모임은 하나의 집합이 된다는 가정,에서 문제가 발생함을 질문했다.

집합의 정의:
모든 집합이 어떤 성질을 만족하는 원소들의 모임으로 정의될 수 있다고 가정하자.
자기참조 집합의 구성:
"자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합들의 집합"을 RR라고 정의하자.
모순의 도출:
- 만약 RR이 자기 자신을 원소로 포함한다면, RR은 자기 자신을 포함하지 않는 집합이어야 하므로 모순.
- 반대로, RR이 자기 자신을 원소로 포함하지 않는다면, 정의에 의해 자기 자신을 포함해야 하므로 역시 모순.

이와 같이 RR이 자기 자신을 포함하는지 여부를 결정할 수 없기 때문에, 근본적인 모순이 발생함.

이러한 모순을 피하기 위해, 수학자들은 보다 엄격한 공리 체계(예: Zermelo-Fraenkel 집합론, 타입 이론 등)를 도입하여 집합의 정의와 구성에 제약을 두게 되었다.

!러셀의 역설은 단순한 논리적 문제를 넘어, 수학의 기초와 논리 체계에 대한 깊은 성찰을 이끌어낸 중요한 발견!

이 역설에 대한 주요 해결 방법은,

1. 공리적 집합론의 도입

구분 공리 (Axiom Schema of Separation):
Zermelo-Fraenkel 집합론(ZF)에서는 임의의 성질을 만족하는 “모든” 원소들의 집합을 구성하는 대신, 이미 존재하는 집합의 원소들 중에서 특정 성질을 만족하는 부분집합만을 형성할 수 있도록 제한한다. 이로 인해 “자기 자신을 원소로 가지지 않는 집합들의 집합”과 같은 모순적인 집합이 생성되는 것을 방지할 수 있다.

2. 타입 이론의 도입

러셀의 타입 이론 (Type Theory):러셀 자신도 이 문제를 해결하기 위해 집합(혹은 개체)을 여러 계층(타입)으로 구분하는 체계를 제안했다. 각 계층의 개체는 오직 하위 계층의 개체들만 참조할 수 있으므로, 자기 참조에 의한 모순이 근본적으로 배제된다.

슬립노모어 서울, 조연캐릭터 총정리, 박제사 원오원 후기

아로미여니 — Sat, 13 Sep 2025 05:56:11 +0900

너무너무너무 재밌지만 한번 봐서는 이해가 안되는 경험이다. 정말 딱 한번 관람할거라면 메인캐릭터 멕베스/멕베스부인 정도 따라다니는걸 추천한다. 나는 총 세번을 봤는데도 갤로우그린에 사는 아그네스/풀튼/박제사 그리고 병원에 있는 매트론/너스.. 이들이 뭐 하는 사람들인지 모르겠는거야... 경험과 조사를 바탕으로 이들의 역할을 정리해보려 한다! 후기 보면 매번 주연캐릭터 얘기만 있길래.. 이제야 조연캐릭터들이 좀 이해가 된다.

박제사 (Mr. Bargarran)

세번째 관람에서 장준혁 박제사를 관찰했다! 용안에서 빛이 나요.

박제사는 헤카테 편에 선 조력자다. ‘만드는 자/보존하는 자’(박제)로서 *주인(=헤카테)*의 의지를 수행하는 역할! 주요 장면으로는

- 대부분의 시간 뼛조각 가지고 놀기

- 레이디 맥더프의 곰돌이 인형에 뼈 숨기기. 위험하다는 쪽지도 준다는데 본적 없음.

- 풀튼이랑 대립하기

- 관객 원오원 : "주인님이 너를 만든거야. 여기까지 오는 한걸음, 한걸음까지도."... "너에게는 처음부터 선택권이 없었어". 이 때 뼛조각 처럼 보이는 진저캔디를 사용한다.

뉴욕 공연에서는 셰익스피어극에 나오는 " I am one, Whom the vile blows and buffets of the world Have so incensed that I am reckless what I do to spite the world. So weary with disasters, tugged with fortune, That I would set my life on any chance, To mend it or be rid on ’t." 라는 대사를 사용했다고 한다.

테일러(J. Fulton)

세번째 관람에서야 풀튼을 봤는데 누군진 기억이 안난다. 헤카테 편이 아니며, 악을 막으려다 번번이 실패하는 인물. 재단소/장례소 라인, 아그네스에게 호의를 보여준다. 주요 장면으로는

- 두려워하며 방안에서 바깥에서 무슨일이 일어나는지 몰래 지켜보기

- 아그네스 챙겨주기

- 방에서 섹시위치 발견하고 관찰하다가 갑자기 깨어난 섹시위치를 보고 까무려치기 (그리고 섹시위치는 두번째 예언 하러 감)

- 박제사가 거리에서 풀튼을 몰아붙이고 격투가 벌어지는데, 이때 "실링워크"라고 불리는 천장걷기를 보여줌. 싸우다가 장례소로 도망가서 문, 창을 잠그고, 박제사는 분필로 X표시를 남김

수간호사/매트론(Matron), 간호사(Nurse Shaw)
매트론은 5층 숲의 오두막에 거의 상주하며, 표식을 쓰고/지우고, 간호사와 미러 듀엣 같은 장면으로 주술 축을 비춘다. 주요 장면은

- 침상 병동(베드 와드): 간호사가 침대 정리·수건 개기·체온/기록 확인 같은 규율 루틴을 돌린다.

- 레이디 맥베스 목욕시키기

아그네스

파란 옷에 모자를 쓰고 있는 사람. 처음에 나는 아그네스가 레이디 맥더프인줄 알았는데, 레이디 맥더프는 임신한 배우다. 실종된 언니(그레이스)를 찾으러 온 인물. 확장 로어/보조 이벤트 정리엔 *그레이스가 헤카테와 “목숨을 건 내기”를 했다가 패해 죽었다*는 버전이 널리 전해진다. 주요 장면으로는

- 포터가 준 열쇠로 갤로우그린의 잠긴 문을 열고 단서를 확인하지만, 완전한 결말은 얻지 못함.

- 헤카테가 눈물 채집. 주술적 용도로 쓰려는 것으로 보임

- 말콤이 그레이스가 얽힌 미스테리 사건에 대한 조사를 하면서 interaction이 있음

캐서린 캠벨 (Catherine Campbell)

댄버스라고 불리는 인물. 헤카테의 하수인. 레이디 맥더프에게 독이든 우유를 먹이는 역할.

- 레이디 맥베스의 유혹 섞인 지시로 던컨왕의 술에 독을 넣음

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****장준혁 박제사 원오원 후기****

이래서 다들 원오원 하고 싶어하는구나ㅠㅠ... 레이브 보다가 나와서 갤로우그린 거리에 서있었는데 재단사가 나와서 두리번 거리더니(거리에 사람은 나뿐이었음) 내 손을 잡고 방으로 들어가 문을 닫았다 (두근). 그리고 내 손을 자세히 관찰하고, 팔꿈치도 만져보고. 그런데 내가 그날 수박모양 네일아트를 해서... 나는 민망했는데 그 상황에서 몰입을 어떻게 하신건지 신기하다. 여하튼 내가 신기하다는 듯 이리저리 살피다가 가면을 벗기고 어깨를 잡고 계속해서 쳐다봤다. 그렇게 쳐다볼거면 결혼해주던가ㅠㅠㅠ 그리고 방 안쪽에 있는 책상 앞에 나를 앉혔다. 그리고 "너는 너가 선택해서 이 자리에 있다고 생각해?" 라며 썩소를 짓더니 (포브스 선정 세상에서 썩소가 가장 잘어울리는 1인) "아니야, 다 주인님의 뜻이야. 나도 그렇고. 주인님이 너를 만들고 설계한거야. 여기까지 오는 한 걸음, 한 걸음 까지도..." 그리고 좋은선택? 나쁜선택? 무슨 이런 얘기도 했는데 잘 기억 안난다. 그리고는 주사기를 꺼냈다. 좀 많이 쫄았다. 나 저거 맞나,,,? 그러더니 뼛조각 처럼 보이는(보이고 싶었던, 이빨조각처럼 보였음ㅋㅋ) 뭔가를 꺼내더니 그 중 하나에 주사기속 초록 액체를 한방울 떨어뜨렸다. 그리고 선택하라고 하더니 자기가 먼저 냉큼 액체가 없는걸 골라서 입에 넣길래, 내가 ? 저 남은거 먹어요? 라는 눈으로 쳐다봤더니 끄덕끄덕... 해서 그거 집어서 먹었다 ㅋ. 그러더니 나를 일으키고 "봐, 너도 알고 있었잖아. 너에겐 선택권이 없었다는걸. 처음부터 선택지는 없었어, 고를수 없다는 선택밖에는 말이지" 라며 벽으로 몰아붙이는데 와 진짜 내가 헤카테한테 조종당하는 기분 ㅠㅠ 그리고 방 밖으로 내보냈다. 아니 근데 진짜 어떻게 낯선 인간을 잡고 그렇게 연기를 해요? 그리고 본인 댄서 아니었나요 연기는 왜 잘해요... 저는 일단... 그 용안을 그 가까이에서 보고 손잡고 밀쳐진 모든게 행복 그자체 ㅎㅎ. 그리고 나는 꿈 꾼 것 같이 돌아다녔다..

박제사가 남긴 초록액체의 흔적과 내 귀염뽀짝 수박네일

다만 나는 준혁 배우님의 무용을 너무너무너무 보고 싶었는데 (진짜 춤 잘추시는 분이란 말이다!!!), 박제사는 연기 위주라 아쉬웠다. 물론 아무데서나 볼 수 없는 준혁님의 연기를 본게 더!! 귀한 경험이긴 해!! 근데 첫공연때 준혁님 맥더프였는데 그때 멕배스 말고 맥더프 따라다닐걸...(그러면 스토리 이해 못했겠지?ㅋ)

내가 사랑하는 노래

아로미여니 — Thu, 14 Aug 2025 15:38:07 +0900

그대여 난 솔직히 좀 싫어
그대는 내가 없더라도 아무렇지 않은 게

<<데이먼스 이어-yours>>

우리 손잡을까요?
지난날은 다 잊어버리고
나를 사랑한다고 말해주세요

<<우효-민들레>>

잊고 서 있는 사람이 되고 싶었어 그래도
내가 서툴어 말하지 않았다면 좋았을까

<<최유리-동그라미>>

When the sky and the sea melting into each other

아로미여니 — Wed, 2 Jul 2025 06:27:43 +0900

Hilbert's sixth problem

아로미여니 — Wed, 2 Jul 2025 03:43:36 +0900

On the morning of August 8, 1900, Hilbert delivered a list of 23 key math problems to the International Congress of Mathematicians. Number six: Produce airtight proofs of the laws of physics.

Physicists use different equations in terms of scale;

미세 (microscopic)	뉴턴의 딱딱한 입자 물리	각 분자가 고전역학에 따라 움직임
중간 (mesoscopic)	볼츠만 방정식	입자 밀도와 속도의 확률 분포로 통계적 기술
거시 (macroscopic)	나비에–스토크스 방정식	유체역학 관점에서 연속체로 묘사

Physicists view these three different models of the gas’s behavior as compatible; they’re simply different lenses for understanding the same thing. But mathematicians hoping to prove that rigorously- is it possible to show that one set of equations implied the other — that these equations were, as physicists had assumed but hadn’t rigorously proved, simply different ways of modeling the same reality?

Goal: Newton’s model of individual particles gives rise to Boltzmann’s statistical description, and that Boltzmann’s equation in turn gives rise to the Navier-Stokes equations.

[First step. microscopic->mesoscopic]

▶ Boltzmann : So long as one crucial assumption holds true: that the particles in the gas move more or less independently of each other. That is, it must be very rare for a particular pair of molecules to collide with each other multiple times.
:( Is this assumption true?
▶ Oscar Lanford (1975) : proved, but only for extremely short time periods. Then the proof broke down; before most of the particles got the chance to collide even once, Lanford could no longer guarantee that recollisions would remain a rare occurrence.

▶ Deng and Hani (2023) : The long-time extension of Lanford’s theorem. "recollisions had to be very, very uncommon"
They proved the [second step] as well, completing the sixth problem, on 2024 （https://arxiv.org/pdf/2503.01800)

The work didn’t just mark the resolution of a major case of Hilbert’s sixth problem. It also provided a rigorous mathematical resolution of an old paradox.

At the microscopic scale, where particles act like billiard balls, time is reversible. Newton’s equations predict both where a particle comes from and where it’s going. The future is not fundamentally different from the past.

But at the mesoscopic and macroscopic levels, there is no going back in time. “We know very well that, going forward in time, one ages but does not rejuvenate; heat does not spontaneously pass from a cold body to a warm body; a drop of ink in a glass of water spreads, darkening the liquid, but does not spontaneously return to the small, round shape it originally had,” Simonella wrote(opens a new tab). Neither the Boltzmann equation nor the Navier-Stokes equations are time-reversible; if you try to run time backward, the results will be nonsensical.

To Boltzmann’s contemporaries, this was perplexing. How could a time-irreversible equation be derived from a time-reversible system?

But Boltzmann argued that there was no paradox: Even if each particle can be modeled in a time-reversible way, almost every collision pattern ends up with a gas dispersing. The chance of, say, a gas suddenly contracting is essentially zero.

Lanford had confirmed this intuition mathematically for his very short time frame. Now Deng, Hani and Ma’s result confirms it for more realistic situations.

Going forward, mathematicians — who are still poring over the details of the new proof — want to test whether similar techniques might be useful in other, even more realistic contexts. These might include gases made up of particles of different shapes, or particles that interact in more complicated ways.

즉, 볼츠만과 나비에–스토크스는 뉴턴 역학의 극한이지만, 그 극한을 취할 때 “많은 입자에 대한 확률적 평균”을 사용하고, 이 과정에서 미시적 정보가 소실되기 때문에 비가역성이 발생한다. 점점 크게 정보를 요약해서 보는 순간, 시간을 되돌리는 건 불가능해지는 것이다.

Reference. https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/

어느 하루가 지나간 자리

아로미여니 — Sun, 15 Jun 2025 20:34:04 +0900

이름 없는 계절처럼 찾아와

창문을 열고 들어온 바람처럼 들어온 하루

나는 묻지 않았고

너도 머무른다 말하지 않았다

달빛이 말을 대신하고

웃음은 잠깐의 그늘처럼 머물렀다

우리는 마주 보았지만

무언가를 약속하진 않았다

그날 이후

나는 너를 꺼내지 않았다

하지만 가끔 손끝이 서랍을 스칠 때면

종이 한 장, 바람 한 줄,

그 여름이 느껴진다

그리고 다시 닫는다

아무 일도 없었다는 듯

놓아도 괜찮은 사람은, 내게 머물 마음이 없는 사람일 뿐

아로미여니 — Sun, 18 May 2025 23:59:36 +0900

여러 장소를 거닐고, 낯선 얼굴들과 인사를 나누며

즐거움이 커진 만큼 생각도 많아진다.

마음을 열었다가 닫았다가,

나눔과 거리두기 사이, 오늘도 그 어딘가에서 흔들린다.

순간은 온전히 느끼되, 사람에 연연하지 말자.

진심은 다하되, 인연은 흘러가게 두자.

놓아도 괜찮은 사람은, 내게 머물 마음이 없는 사람일 뿐.

그렇게 따뜻하면서도 단단한 사람이 되고 싶지만,

생각처럼 쉽지 않다.

왜 나는 사랑하는 것들을 늘 뒤로 하고 떠나야 하는가.

결국은 내가 욕심이 많아서 그런걸

누굴 탓하랴.

그 야속함보다,

사랑할 수 있었던 순간들에, 그 감사함을 더 많이 바라보는 사람이 되기를.

Central Limit Theorem

아로미여니 — Wed, 9 Apr 2025 05:37:12 +0900

The Central Limit Theorem is about convolutions

If you have a bunch of distributions $f\_i$ (say, $ of them), and you convolve them all together into a distribution $, then the larger $ is, the more $ will resemble a Gaussian distribution.

The simplest version of the central limit theorem requires that the distributions $ must be

Independent, and
Identically distributed.

Note that the density function of the sum of two random variables is the convolution of two densitiy functions.